Don’t leave valuables in your car!

*responsible 責任のある
*damage 損害
*vehicle 車両（ここでは、車）

anyは肯定文で使うと、「すべての」という意味になります。つまり、どんな損害に対しても責任を負わないという事を言うためにanyを使っています。

and/or およびまたは(両方ともか、どちらか一方）という言い方ですが、損害を受けた場合、車になる場合、車の中にあるもの（contents)の場合、両方の場合があるので、and/orを使っています。

(訳）
貴重品を車に置かないように！
ノースショアマーケットプレイスは、車とその中の物のどんな損害にも責任を負いません。

ノースショアは、ワイキキから車で数時間かかるところにある地方の街です。都会的な雰囲気はありませんが、ユニークなお店があります。旅行会社のオプショナルツアーの見学コースに組み込まれています。