Are you seeing anyone？ とはどういう意味？

「あなたは誰かを見ていますか？」ではなく、see には「付き合う」という意味があるので、「だれかと付き合っていますか？」という意味になります。

関連した表現に、I’m taken. があります。

I’m taken. は、直訳すると「私は取られている」、つまり「決まった人がいる、結婚している」になります。ナンパを断るせりふにも使えるようです。

例）
Sorry, I’m taken. (ごめんなさい、決まった人がいるのよ）

同じような考えで、This seat is taken. と言ったら、座席は既に他の人によって確保されていることになります。

もう一つ「つきあっている」で覚えて欲しいのが、go out with someone です。

例）
John is going out with Lisa. (ジョンは、リサと付き合っている）

逆に、付き合っている人がいない場合は、
I’m available. と表現できます。

available というと、「利用できる、入手できる」という意味ですが、「自分自身が入手できる(I’m available.)」という使い方があります。

普通の会話では、「今日空いています？」と聞かれて、
Sure, I’m available. と言えば、「もちろん、空いているよ！」という意味になります。

逆に、空いていない場合は、I’m afraid I’m not available. になります。

「今回の重要語」
see, be taken, go out with, available