a rainy day は、雨の日?

on a rainy dayは、文字通り、雨の日ですが、
以下の文はどうなるでしょうか。

My parents saved money for a rainy day.

a rainy day には、もう一つ意味があり、ここでは、「もしもの時」という意味になります。

よって、上の例文は、「両親は、もしもの時のために、お金を貯めた」という意味になります。

rainを使った有名な表現に、rain check「雨天引換券」。
雨の為に野球の試合などが中止になると、rain checkがお客さんに配られるのですが、誘いを断る時にも使えます。

I’ll take a rain check this time.
またの機会にしてください。

誘いに対して、「雨天引換券をもらいます」、ということは、「また今度にしてね」という意味になります。