jump the gun とは？

「銃を飛び越える」では意味不明です。

ここで使われているgunは、陸上競技などで用意ドンの合図をするピストルの事です。

つまり、「スタートの合図がある前に飛び出す＝＞フライングする」という意味になります。

また、フライングするという意味から発展して、「早まった行動をする」という意味にもなります。

ニュース報道において、事実確認を怠って早まった報道をしてしまったというタイトルの記事がありました（以下）。

例）The Breezeより
＊CNN and its followers jump the gun again
（CNNとその関連メディアは、また早まった）

http://www.breezejmu.org/opinion/article_87a2953a-a7c0-11e2-aecc-0019bb30f31a.html

例）JAMAICA OBSERVERより
＊Don’t jump the gun!
（早まった行動をするな）

これは、ジャマイカの陸上女子短距離選手ベロニカ・キャンベルブラウンがドーピング検査で利尿剤に陽性反応を示したという記事ですが、タイトルがよく出来ていますね（陸上競技のフライングと関連させているので）。