「応援している」を英語で言うと?

root forという熟語を使って、
I’ll be rooting for you! (あなたを応援しています)
と言います。

大学入試の試験を受けに行く人に、このように声をかけてあげるといいでしょう。

サッカーの試合を見ていて、
I am rooting for Japan team.

と言ってもいいでしょう。
チームではなく、選手の名前を入れてもOKです。

rootの元々の意味は、「(植物の)根」
そこから派生して、「根源、根本」などという意味にも繋がります。数学のルート(根)も、このrootです。

root forの、root は動詞として使われていますが、これは、米国の口語です。イギリス人に通じるかどうかは不明。